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Bilan massique à deux produits : calculer rendement et récupération en minéralurgie

Comprendre et vérifier le calcul du rendement massique et de la récupération à partir des analyses alimentation, produit et rejet.

8 min de lecture Publié le 13 octobre 2026 Rédigé par Minerallum
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Dans un procédé de séparation simple avec une alimentation et deux sorties, il est possible d’estimer le rendement massique du produit et la distribution d’un composant à partir de trois analyses : alimentation, produit et rejet.

Le calcul ne repose pas sur une base de données Minerallum ni sur une valeur propre à un fournisseur. Il découle directement de la conservation de la masse.

Le calculateur Minerallum applique ces équations aux valeurs saisies par l’utilisateur et affiche le détail du calcul afin qu’il puisse être vérifié indépendamment.

Réponse directe

Notons :

  • F : débit massique sec de l’alimentation ;
  • P : débit massique sec du produit ;
  • T : débit massique sec du rejet ;
  • f : teneur du composant suivi dans l’alimentation ;
  • p : teneur du composant dans le produit ;
  • t : teneur du composant dans le rejet.

Pour un système stationnaire à deux produits :

F=P+TF=P+T

et, pour le composant suivi :

Ff=Pp+TtFf=Pp+Tt

On en déduit le rendement massique du produit :

Y=PF=f-tp-tY=\frac{P}{F}=\frac{f-t}{p-t}

La distribution, ou récupération, du composant vers le produit vaut ensuite :

RP=PpFfR_P=\frac{Pp}{Ff}

soit :

RP=pff-tp-tR_P=\frac{p}{f}\frac{f-t}{p-t}

Ces relations sont celles du bilan massique classique à deux produits utilisé en traitement des minerais. Une publication de 2024 dans Minerals Engineering les présente explicitement comme des relations dérivées de la conservation de la masse pour un séparateur en régime stationnaire.

Pourquoi utiliser les analyses plutôt que mesurer chaque débit ?

Sur une installation réelle, mesurer avec précision les débits massiques secs de l’alimentation, du produit et du rejet peut être difficile. Les procédés fluctuent, certains débits sont discontinus et l’échantillonnage lui-même introduit de l’incertitude.

Le calcul à deux produits permet d’inférer la fraction de solides qui se dirige vers le produit à partir des analyses des trois flux.

Cela ne signifie pas que les analyses sont parfaites. Au contraire, la qualité du résultat dépend directement de la qualité des données saisies.

Dérivation pas à pas

Partons du bilan total :

F=P+TF=P+T

Donc :

T=F-PT=F-P

Le bilan du composant suivi est :

Ff=Pp+TtFf=Pp+Tt

En remplaçant T :

Ff=Pp+(F-P)tFf=Pp+(F-P)t

Développons :

Ff=Pp+Ft-PtFf=Pp+Ft-Pt

Regroupons :

F(f-t)=P(p-t)F(f-t)=P(p-t)

Puis divisons par F(p-t) :

PF=f-tp-t\frac{P}{F}=\frac{f-t}{p-t}

Le terme P/F représente la fraction de la masse sèche de l’alimentation qui rejoint le produit.

Rendement massique et récupération ne sont pas la même chose

C’est une distinction essentielle.

Le rendement massique indique quelle fraction de la masse totale rejoint le produit :

Y=PFY=\frac{P}{F}

La récupération du composant indique quelle fraction du composant présent dans l’alimentation rejoint ce produit :

RP=PpFfR_P=\frac{Pp}{Ff}

Un produit peut représenter une petite fraction de la masse totale tout en récupérant une grande fraction d’un composant fortement concentré.

Autres résultats utiles

Fraction massique du rejet

YT=1-YY_T=1-Y

Distribution du composant vers le rejet

Lorsque f > 0 et que le composant est conservé :

RT=1-RPR_T=1-R_P

Rapport alimentation / produit

K=FP=1YK=\frac{F}{P}=\frac{1}{Y}

Il indique combien d’unités de masse d’alimentation correspondent à une unité de masse de produit.

Rapport de teneur produit / alimentation

E=pfE=\frac{p}{f}

Une valeur supérieure à 1 signifie que le composant suivi est plus concentré dans le produit. Une valeur inférieure à 1 signifie au contraire qu’il y est appauvri.

Le composant suivi doit-il être un métal ?

Non.

Mathématiquement, il faut surtout suivre une grandeur conservée à travers la frontière du bilan.

Il peut s’agir, selon le procédé et les hypothèses :

  • d’un constituant chimique ;
  • d’une espèce minérale ;
  • d’une classe granulométrique, si le procédé ne crée ou ne détruit pas cette classe de manière significative par fragmentation, agglomération ou réaction.

Une publication de 2025 dans Minerals Engineering utilise par exemple la relation à deux produits avec des fractions granulométriques pour étudier un classificateur, sous des hypothèses explicites de régime stationnaire et d’absence de transformations pertinentes des particules.

Conditions indispensables avant d’utiliser le résultat

1. Une alimentation et deux sorties

Le modèle suppose un périmètre simple : un flux entrant et deux flux sortants.

S’il existe un troisième produit, des middlings, une perte de poussières, un flux dissous non mesuré ou un autre flux qui transporte une partie significative du composant, le modèle à deux produits n’est plus complet.

2. Données représentatives du même régime de fonctionnement

Les trois analyses doivent représenter la même période ou un fonctionnement suffisamment stable.

Mélanger une analyse d’alimentation prise avant une modification du procédé avec une analyse produit prise après cette modification peut produire un résultat sans signification physique.

3. Conservation du composant

Le calcul suppose que la quantité suivie n’est pas créée ou détruite dans le périmètre considéré.

Une réaction, une dissolution, une précipitation, une volatilisation ou une transformation non prise en compte peut invalider le bilan.

4. Même unité et même base analytique

Les trois analyses doivent être directement comparables :

  • toutes en % massique ;
  • ou toutes en g/t ;
  • ou toutes en ppm ;
  • ou dans une autre unité commune cohérente.

Il ne faut pas mélanger, par exemple, une analyse sur base humide avec deux analyses sur base sèche.

Un contrôle de cohérence très utile

Dans un bilan physique valide, la teneur de l’alimentation doit être comprise entre les teneurs des deux sorties :

min(p,t)≤f≤max(p,t)\min(p,t)\le f\le\max(p,t)

Pourquoi ?

Parce que l’alimentation est, du point de vue du bilan, une combinaison pondérée des deux sorties :

f=Yp+(1-Y)tf=Yp+(1-Y)t

Si l’analyse d’alimentation se situe en dehors de l’intervalle défini par les deux sorties, les trois valeurs ne peuvent pas décrire exactement un système simple à une alimentation et deux sorties avec conservation du composant.

Le calculateur Minerallum signale donc cette situation au lieu de forcer artificiellement un résultat compris entre 0 et 100 %.

Que se passe-t-il si les analyses produit et rejet sont identiques ?

Si :

p=tp=t

le dénominateur du calcul de rendement devient nul :

Y=f-tp-tY=\frac{f-t}{p-t}

Les analyses du composant ne permettent alors pas de déterminer la répartition de masse entre les deux sorties.

Le calculateur doit indiquer que le rendement n’est pas identifiable avec ces données.

Pourquoi les résultats peuvent-ils être sensibles aux erreurs d’analyse ?

La formule est exacte pour des données exactes respectant les hypothèses du modèle. Les données industrielles, elles, contiennent toujours une incertitude.

Iveson et Galvin ont montré en 2024 que la formule à deux produits peut amplifier de manière non linéaire l’incertitude des analyses, particulièrement dans certaines configurations où les flux sont peu différenciés par le composant choisi.

Wills et Finch soulignent également que les formules simples de bilan propagent les erreurs de mesure ; elles ne les corrigent pas.

Pour des jeux de données redondants ou fortement bruités, il existe des méthodes de réconciliation de données plus avancées. Elles constituent un problème différent du calcul transparent proposé ici.

Ce que fait le calculateur Minerallum

Le calculateur :

  1. reçoit les trois analyses saisies par l’utilisateur ;
  2. vérifie leur cohérence mathématique de base ;
  3. calcule le rendement massique ;
  4. calcule la distribution du composant ;
  5. calcule les débits produit et rejet si un débit d’alimentation est fourni ;
  6. affiche chaque équation avec les valeurs remplacées ;
  7. permet à l’utilisateur de vérifier indépendamment le résultat.

Il n’utilise aucune valeur de produit Minerallum et ne dépend d’aucune donnée fournisseur.

Ce que le calculateur ne fait pas

Il ne :

  • certifie pas les analyses ;
  • corrige pas les erreurs d’échantillonnage ;
  • prédit pas les performances futures d’une installation ;
  • remplace pas une réconciliation statistique complète ;
  • détermine pas si un matériau convient à une application industrielle.

Le résultat est un calcul déterministe à partir des données saisies.

Exemple rapide

Pour :

  • alimentation f = 10 % ;
  • produit p = 40 % ;
  • rejet t = 2 % ;

le rendement massique vaut :

Y=10-240-2=838=0,210526...Y=\frac{10-2}{40-2} =\frac{8}{38} =0,210526...

soit environ :

21,0526%21,0526\%

La récupération du composant vers le produit est :

RP=4010×0,210526...=0,842105...R_P=\frac{40}{10}\times0,210526... =0,842105...

soit :

84,2105%84,2105\%

L’article d’exemple associé détaille ensuite la fermeture complète du bilan.

Références

  1. Iveson, S. M.; Galvin, K. P. (2024). Amplification in the Uncertainty of the Yield and Recovery for a Steady-State Mineral Separator calculated using the Two-Product Formula. Minerals Engineering, 212, 108729. https://doi.org/10.1016/j.mineng.2024.108729
  2. Wills, B. A.; Finch, J. (2015/2016). Wills’ Mineral Processing Technology, 8th ed., Chapter 3: Sampling, Control, and Mass Balancing. https://doi.org/10.1016/C2010-0-65478-2
  3. Koermer, S.; Noble, A. (2021). The utility of Bayesian data reconciliation for separations. Minerals Engineering, 169, 106837. https://doi.org/10.1016/j.mineng.2021.106837
  4. Starrett, J. B.; Iveson, S. M.; Galvin, K. P. (2025). Empirical evidence for Fermi-Dirac classification of minerals by particle size. Minerals Engineering, 227, 109277. https://doi.org/10.1016/j.mineng.2025.109277

À retenir

Le bilan à deux produits est puissant précisément parce qu’il est simple : deux équations de conservation permettent d’estimer la répartition de masse et la distribution d’un composant.

Sa valeur dépend cependant entièrement de la qualité des données et du respect de ses hypothèses.

Le calculateur Minerallum montre donc le calcul au lieu de demander à l’utilisateur de lui faire confiance.

Documentation

Sources et références

Les informations techniques présentées dans cet article reposent sur les publications et ressources suivantes.

  1. 01
    Minerals Engineering

    Iveson & Galvin (2024), Two-Product Formula

    Consulter la source
  2. 02
    Elsevier

    Wills’ Mineral Processing Technology, Chapter 3

    Consulter la source
  3. 03
    Minerals Engineering

    Koermer & Noble (2021), Bayesian data reconciliation

    Consulter la source
  4. 04
    Minerals Engineering

    Starrett, Iveson & Galvin (2025), Particle-size classification

    Consulter la source

Les exigences techniques peuvent varier selon les installations, les normes applicables, le procédé et les recommandations du concepteur du système.

Guides techniques associés